himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x +sin x= 0 untuk 0 derajat lebih kecil dari x, x lejih kecil dari 360

Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0⁰ < x < 360⁰ adalah HP = {90⁰, 210⁰, 330⁰}.

Pembahasan

Ini merupakan persoalan persamaan trigonometri yang akan diolah bentuknya menjadi persamaan kuadrat trigonometri.

Interval yang diberikan (0⁰ < x < 360⁰) menunjukkan bahwa himpunan penyelesaian nilai-nilai x yang memenuhi harus berada di seluruh kuadran.

Bentuk cos 2x di soal harus diubah menjadi sinus dengan menggunakan rumus sudut rangkap (ganda) cosinus. Rumus sudut rangkap cosinus  yang diperlukan untuk mengubahnya adalah [tex]\boxed{~cos~2A = 1 - 2sin^{2}A~}[/tex]

Perhatikan setiap langkah dengan cermat.

cos 2x + sin x = 0

1 - 2sin²x + sin x = 0

Kalikan kedua ruas dengan -1 untuk memudahkan pemfaktoran.

2sin²x - sin x - 1 = 0

Faktorkan

(2sin x + 1)(sin x - 1) = 0

Diperoleh sin x = - ¹/₂ dan sin x = 1

Berikutnya kita gunakan bentuk umum penyelesaian persamaan sinus untuk menentukan nilai-nilai sudut x.

Bagian Pertama [tex] \boxed{~sin \ x = sin \ \alpha \rightarrow x = \alpha + k.360^0~} [/tex]

Bagian Kedua [tex] \boxed{~sin \ x = sin \ \alpha \rightarrow x = (180^0-\alpha) + k.360^0~} [/tex]

Nilai k = 0, 1, 2, dan seterusnya.

Penyelesaian untuk sin x = - ¹/₂

sin x = sin (180° + 30°) = sin 210° (kuadran III)

Bagian Pertama

x = 210° + k.360°

Untuk k = 0 ⇒ x = 210°

Untuk k = 1 dan seterusnya tidak ada x yang memenuhi karena berada di luar interval

Bagian Kedua

x = (180° - 210°) + k.360°

x = -30° + k.360°

Untuk k = 0 diperoleh x = -330° yang tidak memenuhi penyelesaian karena berada di luar interval

Untuk k = 1 ⇒ x = -30° + 360° = 330°

Penyelesaian untuk sin x = 1

sin x = 1 ⇒ sin x = sin 90°

Dalam interval 0° < x < 360°, nilai yang memenuhi sin x = 1 hanya x = 90°.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x + sin x = 0 untuk 0⁰ < x < 360⁰ dapat ditulis sebagai himpunan penyelesaian HP = {90⁰, 210⁰, 330⁰}

--------------------------

Pelajari lebih lanjut

1. Persoalan trigonometri sudut rangkap brainly.co.id/tugas/12609638
2. Penggunaan rumus-rumus lainnya brainly.co.id/tugas/10215036

______________

Detil jawaban

Kelas           : X

Mapel          : Matematika

Bab              : Trigonometri

Kode            : 10.2.7

Kata Kunci  : himpunan penyelesaian, persamaan trigonometri, cos 2x + sin x = 0, untuk, 0⁰ < x < 360⁰, adalah, sinus, cos, sin, cosinus, interval, sudut rangkap, ganda, kuadran, bentuk umum, HP = {90⁰, 210⁰, 330⁰}, brainly